Jawaban yang benar untuk pertanyaan tersebut adalah ( f − 1 ∘ g ) − 1 ( x ) = ​ ​ 3 x − 9 4 − x ​ ​ dan ( f ∘ g − 1 ) − 1 ( x ) = ​ ​ 3 x + 9 x + 4 ​ ​ .

Ingat!

Ada 2 cara menentukan formula invers fungsi komposisi, yaitu:

Mula-mula menentukan fungsi komposisinya, kemudian diinverskan. Mula-mula menentukan invers masing-masing fungsi kemudian dikomposisikan.

Ingat pula:

( f ∘ g ) − 1 ( x ) ​ = ​ ( g − 1 ∘ f − 1 ) ( x ) ​ ( f − 1 ) − 1 ( x ) ​ = ​ f ( x ) ​

Diketahui:

f ( x ) g ( x ) ​ = = ​ x − 1 4 − x ​ 2 x + 1 x ​ ​

Ditanya: ( f − 1 ∘ g ) − 1 ( x ) dan ( f ∘ g − 1 ) − 1 ( x ) .

Jawab:

Cari f − 1 ( x ) :

f ( x ) y y ( x − 1 ) x y − y x y + x x ( y + 1 ) x f − 1 ( y ) f − 1 ( x ) ​ = = = = = = = = = ​ x − 1 4 − x ​ x − 1 4 − x ​ 4 − x 4 − x y + 4 y + 4 y + 1 y + 4 ​ y + 1 y + 4 ​ x + 1 x + 4 ​ ​

Cari g − 1 ( x ) :

g ( x ) y y ( 2 x + 1 ) 2 x y + y x − 2 x y x ( 1 − 2 y ) x g − 1 ( y ) g − 1 ( x ) ​ = = = = = = = = = ​ 2 x + 1 x ​ 2 x + 1 x ​ x x y y 1 − 2 y y ​ 1 − 2 y y ​ 1 − 2 x x ​ ​

Mencari ( f − 1 ∘ g ) − 1 ( x ) :

( f − 1 ∘ g ) − 1 ( x ) ​ = = = = = = = = = = = ​ ( g − 1 ∘ ( f − 1 ) − 1 ) ( x ) ( g − 1 ∘ f ) ( x ) g − 1 ( f ( x ) ) g − 1 ( x − 1 4 − x ​ ) 1 − 2 ( x − 1 4 − x ​ ) x − 1 4 − x ​ ​ x − 1 x − 1 ​ − x − 1 2 ( 4 − x ) ​ x − 1 4 − x ​ ​ x − 1 x − 1 ​ − x − 1 8 − 2 x ​ x − 1 4 − x ​ ​ x − 1 x − 1 − 8 + 2 x ​ x − 1 4 − x ​ ​ x − 1 3 x − 9 ​ x − 1 4 − x ​ ​ x − 1 ​ 4 − x ​ ⋅ 3 x − 9 x − 1 ​ ​ 3 x − 9 4 − x ​ ​

Mencari ( f ∘ g − 1 ) − 1 ( x ) :

( f ∘ g − 1 ) − 1 ( x ) ​ = = = = = = = = = = ​ ( ( g − 1 ) − 1 ∘ f − 1 ) ( x ) ( g ∘ f − 1 ) ( x ) g ( f − 1 ( x ) ) g ( x + 1 x + 4 ​ ) 2 ( x + 1 x + 4 ​ ) + 1 x + 1 x + 4 ​ ​ x + 1 2 ( x + 4 ) ​ + x + 1 x + 1 ​ x + 1 x + 4 ​ ​ x + 1 2 x + 8 + x + 1 ​ x + 1 x + 4 ​ ​ x + 1 3 x + 9 ​ x + 1 x + 4 ​ ​ x + 1 ​ x + 4 ​ ⋅ 3 x + 9 x + 1 ​ ​ 3 x + 9 x + 4 ​ ​

Dengan demikian, bentuk dari ( f − 1 ∘ g ) − 1 ( x ) = ​ ​ 3 x − 9 4 − x ​ ​ dan ( f ∘ g − 1 ) − 1 ( x ) = ​ ​ 3 x + 9 x + 4 ​ ​ .